Теория числовых множеств и простых чисел

Теорема Руденко

Посмотреть полную версию:
Посмотреть краткую версию:

Эссэ о числовых множествах и простых числах

Вначале мы вспомним то, что общеизвестно, чтобы любой неискушённый в математике человек смог разобраться.

Понятие числа и множества является одним из основных понятий в математике. Это простые, первичные понятия, которые не определяются через другие.

Скажем так: множество — это совокупность объектов любой природы, называемых элементами множества.

Множество обозначают большими буквами: А, В, …. N. Элементы множества обозначают малыми буквами: а, b, … n.

Запись x ∈ А означает, что элемент х принадлежит множеству А.

Если х не входит во множество А, то пишут x ∉ А.

Запись ∀ х ∈ А: a означает, что для всех (для любого) из множества имеет место некоторое утверждение обозначенное α.

Запись ∃ х0 ∈ А:α означает, что существует (найдётся) такой элемент х из множества А, для которого справедливо утверждение обозначенное α.

Множества бывают дискретные и непрерывные, конечные и бесконечные.

В нашей записи мы будем рассматривать в основном только дискретные (штучные) множества, которые состоят из элементов (штук).

Пример дискретного множества: количество арбузов в Африке, где элементом множества является арбуз. Пример непрерывного множества: количество точек в портняжном метре закройщика.
Строго определить можно так: непрерывные множества это такие множества, где между любыми двумя точками (элементами) всегда найдётся третья. 

Математика Руденко. Теорема Руденко

Где а1 а2 отрезок, ∃а3 ∈ Δ а1 а2 при Δ а1 а2 → 0 в пределе, то есть непрерывное множество, заполняющее полностью весь отрезок а1 а2.

Иногда говорят: отрезок а1 а2 заполнен всюду плотно или, что существует взаимно-однозначное соответствие соответствие между числами R и точками отрезка а1 а2.

Что такое взаимно-однозначное соответствие? В нашем случае, это для любой точки числовой оси 

Математика Руденко. Теорема Руденко

найдётся число а принадлежащее а ∈ R, где R множество вещественных чисел R=(-∞ +∞) и, наоборот, для каждого числа а на числовой оси найдётся точка а.

Отсюда вывод: все непрерывные множества бесконечны.

Дискретные множества — это такие множества, что между двумя любыми элементами существует мера различия, например расстояние которое не может быть меньше какой-то величины Δ.

То есть между любыми элементами дискретного множества есть разрывы. 
Дискретные (точечные) множества могут быть как конечные, так и бесконечные. Множество считается заданным, если о любом объекте можно сказать принадлежит он этому множеству или нет.

Способы задания множеств

Множество считается заданным, если о любом объекте можно сказать принадлежит он этому множеству или нет.
1) С помощью перечисления его элементов А={а1 а2 ….. аn}.
2) Описанием характеристического свойства элементов множества А={х:Р(х)}.

Обозначим некоторые определения:
3) Множество содержащее только один элемент а обозначается символом: А={а}.
Множество не содержащее ни одного элемента называется пустыми обозначается: А={Ø}.
4) Множества А называется конечным, если оно содержит конечное число n элементов.
5) Множество А называется подмножеством множества В, если любой элемент множества А является элементом множества В. Пишут А⊂В или В⊃А.

   Свойства отношения включения
       а) А⊂А.
       б) Если В⊂А и А⊂С, то В⊂С.
       с) Если В⊂А и А⊂В, то А=В.

6) Два множества А и В называются равными (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов А=В⟷{А⊂В В⊂А}.
7) Два множества называются эквивалентными, если между элементами этих множеств существует взаимно-однозначное соответствие (А ~ В).
8) Множество Т называется универсальным множеством для данного рассуждения, если в ходе этого рассуждения участвуют только подмножества множества Т.

Изображение множества с помощью геометрической фигуры называются диаграммой множества или диаграммой Эйлера-Вена.

Числовые множества

Определение множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Обозначение некоторых числовых множеств:
   N — множества натуральных чисел N = {1,2,3, ….}
   P — множества простых чисел P = {1,2,3,5,7, ….}'
   Z
— множества целых чисел Z = {0,±1,±2, ….}'
   Q — множество рациональных чисел Q ={pq}, где р ∈ Z, q ∈ N'
   R — множество вещественных чисел R = (-∞ +∞)

Нетрудно видеть, что P⊂N⊂Z⊂Q⊂R

Отсюда заключаем N⋂P=P, N∪P=N, N⋂Z=N, N∪Z=N, N⋂Q=N, N∪Q=N, N⋂R=N, N∪R=N

Множество R эквивалентно множеству точек числовой оси, в силу чего понятие «число х» и «точка х» на числовой оси будем считать равнозначными.

Объединение множеств

Математика Руденко. Теорема Руденко
Множества можно комбинировать друг с другом и получать другие множества. Для этого используем операции: объединение множеств, пересечение множеств, дополнение к подмножеству, разность множеств, прямое произведение множеств.

Объединением множеств А и В называется множество, означаемое A∪B (или A+B) состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В
A∪B={x ∈ A или x ∈ В}

   Свойство объединения множеств
       1. A∪B=B∪A
       2. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
       3. Если A∪B, то A∪B=В
       4. A∪А=А
       5. A∪Ø=А

Пересечение множеств

Математика Руденко. Теорема Руденко. Пересечение множеств
Пересечение множеств А и В называется множество, обозначаемое А⋂В или АВ, состоящее из элементов, которые одновременно принадлежат и множеству А и множеству В.

   Свойство пересечения множеств
       1. А⋂В=В⋂А
       2. (А⋂В)⋂С=А⋂(В⋂С)
       3. Если А⊂В, то А⋂В=А
       4. А⋂А=А
       5. А⋂Ø=Ø

   Связь между операциями объединения и пересечения

Математика Руденко. Теорема Руденко

       1. А⋂(В∪С)=(А⋂В) ∪ (А⋂С)
       2. А∪(В⋂С)=(А∪В) ⋂ (А∪С)
       3. n(А∪В)=n(A)+n(B)-n(A⋂B)
Дополнение к множеству А во множестве V (если A⊂V) называется множество А всех тех элементов V, которые не принадлежат А.
A={x∈V и x∉A}.

   Свойство дополнения к множеству

Свойство дополнения к множеству. Математика Руденко. Теорема Руденко

       1. А⋂В∪А⋂В=А, то есть АВ+АВ=А
       2. А∪А=V, то есть A+A=V
       3. А⋂A=Ø 4. n(V)=n(A)+n(A)
Любые два подмножества А и В множества V разбивают множество V на четыре области:
Д1=АВ Д2=АВ Д3=АВ Д4=АВ

   Закон двойственности
       1. Если А⊂V, В⊂V, то А⋂В=А∪В
       2. Если А⊂V, В⊂V, то А∪В=АВ

Разность множеств

Разность множеств. Математика Руденко. Теорема Руденко
Разность множеств А и В называется множество, обозначаемое А\В, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.
А\В={х∈A и х≠В}

   Свойства разности множеств
       1. А\В=А\(А⋂В)
       2. Если А⊂V и V универсальное множество, то А=V\А
       3. А\(В⋂С)=(А\В)∪(А\С)
       4. А\(В∪С)=(А\В)⋂(А\С)
Прямое произведение множеств А и В называется множество, обозначаемое А·В и состоящее из всех упорядоченных пар вида (a,β), где а∈А, β∈В А·В={(a,β), a∈А и β∈В}.

   Правила суммы и произведения
Пусть А и В два конечных не пересекающихся множества, содержащие n(А) и n(В) элементов соответственно.
       • Правило суммы
Число n(А∪В) элементов множества А∪В вычисляется по формуле:
n(А∪В)=n(А)+n(В)-n(А⋂В).

Множество считается заданным, если о любом объекте можно сказать принадлежит он этому множеству или нет.
       • Правило произведения
Число n(АВ) элементов множества АВ вычисляется по формуле:
n(АВ)=n(А)n(В).

Мощность множеств

Это вопрос касающейся количественной стороны множеств. Если множество конечное, то мы можем говорить о количестве его элементов, то есть, ответив на вопрос сколько, назвав конкретное натуральное число.

При этом легко определить в каком множестве элементов больше, а в каком меньше.

Сутью бесконечных множеств вопрос: «Сколько?» не имеет смысла — бесконечность не число!

Ещё более туманным является понятие > или < для бесконечных множеств. Понятие количества для бесконечных множеств заменяется понятием мощности. Мощность - инструмент количественного сравнения бесконечных множеств.

  • Определение 1.  Два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Эквивалентные множества считаются равномощными, то есть имеющие одинаковую мощность.

  • Определение 2. Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел N, называются счётными.

Вывод. Счётные множества могут быть занумерованы, у каждого элемента есть свой номер.

Множество чётных чисел N2={2n} счётно. Соответствие N2⟷N описывает 2n⟷n.

Множество целых чисел счётно Z 0⟷1, 1⟷2, (-1)⟷3, 2⟷4, (-2)⟷5 …, то есть Z{0, 1, −1, 2, −2, 3….}.

   Свойства счётных чисел

008

  1. Любое подмножество счётного множества либо конечно, либо счётно. Счётное множество наименьшее из бесконечных множеств.
  2. Объединение двух счётных множеств счётно.
  3. И даже объединение счётного множества счётных множеств счётно.

Каждая точка плоскости получит свой натуральный номер и каждый натуральный номер получит свою точку, то есть существует взаимно-однозначное соответствие. Множество пар (P,S) из элементов двух счётных множеств P и S счётно.

Вывод. Множество Q = pq рациональных чисел счётно.

Доказали парадокс

Рациональных чисел столько же, сколько и натуральных по мощности.

Необходимо ещё доказать, что простых чисел бесконечно много. Будем доказывать это утверждение от обратного.

Пусть количество простых чисел конечно, где n- количество простых чисел, аn — наибольшее простое число, тогда произведение простых чисел составит а1·а2·а3·а4….аn.

Прибавим к полученному результату единицу и получим число а1·а2·а3·а4….аn+1.

Рассмотрим полученное число. Так как оно не делится ни на одно простое число и больше аn, а1·а2·а3·а4….аn+1>аn, следовательно, утверждение, что аn наибольшее простое ложно, а истина, в том, что простых чисел бесконечно много.

Докажем теперь следующее утверждение, что множество точек интервала (0;1) несчётно.

Все точки интервала (0;1) запишем в виде десятичной дроби х∈0,1⟷х=0, а1, а2, а3, … аn.

Будем доказывать от противного. Предположим, что все числа занумерованы (0,1)={x1, x2, x3, …xn}. Составим таблицу всех чисел (0,1)

x1 = 0, a11, a21, a31, ... an1
x2 = 0, a12, a22, a32, ... an2
x3 = 0, a13, a23, a33, ... an3
...
xn = 0, a1n, a2n, a3n, ... ann
...
x0 = 0, a10, a20, a30, ... an0

x0≠х1, значит число x0 не занумеровано.

Построим x0∈(0,1), которое не занумеровано, возьмём

a10 ≠ a11
a20 ≠ a22
a30 ≠ a33
an0 ≠ ann

Значит множество несчётно.

Оказывается, что мощность точек на отрезке (0,1) несчётно.

Мощность (0,1) называется мощностью континуума.

То есть тогда получается, что любой отрезок и даже вся числовая прямая R имеют мощность континуума.

Более того, оказывается, что мощность континуума имеют и все точки плоскости и даже трёхмерного пространства.

Теорема Кантора гласит: никакое множество Х не равномощно множеству своих подмножеств, или любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.

Проиллюстрируем на конечных множествах, что такое все подмножества.

Пусть множества Х2={1; 2}, n=2, тогда его подмножества будут следующие Х2=Ø; 1; 2; 12=2n =22=4.

Пусть множества Х3={1; 2; 3}, n=3, тогда его подмножества будут следующие Х3=Ø; 1, 2, 3, 12, 13, 23, 123=23=8.

Пусть множества Х4={1; 2; 3; 4}, n=4, тогда его подмножества будут следующие Х4=Ø; 1, 2, 3, 4, 12, 13, 14, 23, 24, 34, 123, 124, 134, 234, 1234=24=16.

Для любого конечного множества n - число элементов Хn={1, 2, 3, 4,….n}, количество подмножеств будет равно 2n штук.

Теорема Руденко

N — множество натурального ряда. N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,….}, мощность |N| счётна.

Р — множество простых чисел (числа, которые делятся на 1 и на себя) Р={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,….}, так же считается счётными |Р|.

То есть, N множество натурального ряда было равномощно множеству простых чисел Р.

Докажем, что это не так. Действительно, любое натуральное число, которое не является простым, можно представить в виде разложения на простые числа.

То есть, простые числа являются как бы кирпичиками для разложения составных чисел и натуральный ряд представится в виде N1={1, 2, 3, 2·2, 5, 2·3, 7, 2·2·2, 3·3, 2·5,….}.

Значит N1~N это по сути одно и тоже, что и N1=N. Только в множестве N1 составные числа даны в виде разложения на простые множители.

Следовательно, любое подмножество простых чисел в общем виде запишем так m=an1·ak2·ap3·as4·….anv. ∈ N, где индекс внизу — номер простого числа, а степень — сколько раз простое число повторяется в разложении.

011

Пример для иллюстрации:

m=24·32·52·7·11 m=2·2·2·2·3·3·5·5·7·11·277200 ∈ N

Следовательно, любое и каждое подмножество простых чисел будет записано m ∈ N.

Обозначим через |Р| множество всех подмножеств простых чисел |Р| ⊂ N принадлежит натуральному ряду.

Ещё говорят |Р| булеан В(Р)⊂ N и наоборот любое натуральное число можно представить как одно из подмножеств простых чисел, то есть N ⊂ |Р|.

Пример: 19470⟷2·3·5·11·59.

Отсюда вывод: между множеством натурального ряда N и множеством всех подмножеств простых чисел, существует взаимно-однозначное соответствие, или говорят — они эквивалентны N~|Р|, то есть между элементами существует биекция.

N натуральный ряд множество всех подмножеств простых чисел Р.

Проиллюстрируем: 1=1; 2=2; 3=3; 4=2·2; 5=5; 6=2·3; 7=7; 8=2·2·2; 9=3·3; 10=2·5; 11=11; 12=2·2·3; 13=13; 14=2·7; 15=3·5; 16=2·2·2·2; 17=17; 18=2·3·3; 19=19; 20=2·2·5; 21=3·7;…. и т. д.

Теперь согласно теореме Кантора, любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Значит мощность натурального ряда счётна.

Следовательно, и мощность всех подмножеств простых чисел счётно.

Отсюда, согласно теореме Кантора следует, что множество простых чисел меньше по мощности натурального ряда, меньше счётного множества.

Вывод: существует хотя бы одно бесконечное множество по мощности меньше счётного.

Это множество простых чисел: Р={1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19;….}.

Следовательно, существует, по крайней мере, три вида бесконечных множеств различной мощности. Самое слабое из них множество простых чисел Р, мощность его обозначаем как |Р|.

Множество всех подмножеств простых чисел порождает более мощное множество — счётное множество, или как ещё говорят булеан В(Р) равномощен N. В(Р)~N.

Аналогично множество всех подмножеств натурального ряда N булеан В(N) порождает множество R=(-∞+∞) множество континуума В(N)~R.

И так повторим, что мы доказали.

То, что множество всех подмножеств простых чисел Р булеан В(Р) совпадает (порождает) натуральный ряд N, то есть В(Р)~N.

Между элементами В(Р) и элементами N существует биекция (взаимно-однозначное соответствие): В(Р)⟷N.

Но так как множество натурального ряда N счётно, то и булеан Р: В(Р) счётен.

Согласно теореме Кантора, если В(Р) множество всех подмножеств счётно, то мощность простых чисел Р меньше мощности N счётно.

Следовательно, множество простых чисел Р, во-первых бесконечно, и во-вторых по мощности меньше счётного |Р|<В(Р) или |Р|<|N|.

Покажем определённую закономерность: Простые числа Р Р={1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23….}

Множество простых чисел мощность |Р|.

Натуральный ряд N N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,….}

N натуральный ряд счётное множество мощность |N|.

Бесконечная прямая — мощность континуума.

Множество вещественных чисел R мощность континуума |R|. Р⊂N⊂R

Имеется зависимость: булеан В(Р)~N счётное множество, булеан В(N)~R континуум множеств.

Можно пофантазировать: булеан булеана В(В(Р))~R континуум или В2 (Р)~R продолжает континуум и ещё В3(Р)~ гиперконтинуум. Интуиция говорит, что других мощностей не бывает, но это пока гипотеза.

Приведём пару примеров в заключение:

  1. Простые числа разбросаны в натуральном ряду очень прихотливым образом, и не удивительно, что издревле математики стремились найти формулу простого числа. Самая простая формула простого числа выглядит, по-видимому, так: Р=Рn, где Рn — натуральный ряд, n∈ N, n=1, 2, 3, 4, 5,…., n — номер простого числа. Р=n-ное простое число.
    То есть мы хотим для любого номера n∈ N найти n-ное простое число, назовём его К, К∈  Р. Получается, мы хотим найти биекцию между К∈ Р и n∈ N. Но К~n К⟷n. Биекции существовать не может, так как К принадлежит множеству простых чисел, а n принадлежит множеству N — счётному множеству.
    Множества Р и N разномощны и не может между их элементами быть взаимно-обратного соответствия.
    Поэтому формулы простых чисел не существует.
    Многочисленные попытки многих математиков найти формулу простого числа потерпели крах, и другие пусть не пробуют — результат будет отрицательным. 
  2. Известна задача ещё более сложная, чем первая. Квадратура круга. Найти площадь квадрата равного площади круга. Такое соотношение есть, но построить его с помощью циркуля и линейки невозможно. Решается задача сотни лет, десятками учёных, а решения пока нет. Я покажу только одно: число π, отношение диаметра окружности к длине окружности, невозможно вычислить точно, до последней цифры.

Пусть диаметр Д=1, тогда длина окружности будет π=3,1415926…., то есть мы хотим сопоставить счётное множество Д=1 к трансцендентному π.

Д=1, π = 3,1415926….

Почему так относится длина окружности к диаметру одному Богу известно.

На этом всё.

Рукопись была окончательно написана 21 июля 2016 года в г. Прохладном Руденко Анатолием Яковлевичем, в мой день рождения, мне исполнилось 69 лет.

P.S.: Послесловие

И так существует 3 различных по мощности бесконечных числовых множеств:

Простые числа : P = { 1;2;3;5;7;11;13;17;19;23…}

Мощностью: │Р│

Натуральные: Р ряд N

N { 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12…}

Счетные множества мощностиN

Бесконечные всюду плотный отрезок R € (0;1) илиR , +R

Мощность континуумаR

Множество вещественных чисел : P Ϲ N Ϲ R имеется зависимость булеан BP │ ~ N

Счётное множество. Булеан BN │ ~ R континуум

Зададимся вопросом существует ли еще бесконечные числовые множества другой мощности , и сейчас докажем , что других числовых множеств нет.

Схематически это изображается так :

008

Применим знаменитый принцип экономии , он действует в природе, обществе, науке БРИТВА ОККАМА.

Не надо множить сущее без необходимости или по другому отсечь всё лишнее.

Для нашего примера существует три бесконечных числовых множества:

Р – простые числа

N – натуральный ряд

R – множество континуума

И других решений нет.

В поперечном сечении схема имеет мощности числовых множеств имеет ядро ,что является областью простых чисел.

Кольцо охватывающее ядро , является областью натурального ряда и внешнее кольцо – это мощность континуума в продольном сечении схемы.

R   

<   
   Область континуума

N   

<   

   Область натурального ряда

   1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16

P   

   Область простых чисел

   1;2;3;5;7;11;13;17;19;23;29…

 

Видим ,что по мощности P│< │N│< │R       Булеан В|Р| ~ N

То есть область натурального ряда или что одно и тоже счётное множество N опирается на область простых чисел . И держит над собой область континуума,

Булеан BN│ ~ R

Вот и вся тайна мощности бесконечных числовых множеств.

Контактная информация:

+7 (916) 629-50-03
+7 (968) 441-46-67
Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.
Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

© 2016 - 2019, Анатолий Руденко